1. Матрицы и линейные действия над ними. Определение матрицы. Размерность. Прямоугольная, квадратная, матрица столбец и строка, диагональная и единичная. Транспонирование матрицы. 2. Сумма матриц и ее свойства. Произведение матрицы на число, его коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность. 3. Произведение матриц. Определение. Свойства. Умножение на единичную матрицу. 4. Понятие определителя. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Транспонирование матрицы. 5. Свойства определителей. Замена строк и столбцов определителя. Определители с одинаковыми строками, столбцами. {Общий множитель строки}. Нулевые и линейно зависимые строки, столбцы. 6. Свойства определителей. Определитель как сумма определителей. Тождественное преобразование определителя. Сумма произведений элементов строк и столбцов на алгебраические дополнения других строк, столбцов. 7. Система линейных уравнений в матричной форме и ее решение с помощью обратной матрицы. 8. Системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей. Формулы Крамера. 9. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Элементарные преобразования СЛУ. 10. Ранг квадратной матрицы. Определение ранга матрицы методом эквивалентных преобразований. 11. Однородные системы линейных уравнений. 12. Существование и единственность решения неоднородной системы линейных уравнений. 13. Определение вектора. Обозначение. Коллинеарность. Модуль. Равенство векторов. Свободные векторы. 14. Линейные действия над векторами. Сумма векторов и ее свойства. Нулевой вектор. Противоположный вектор. Разность векторов. Произведение вектора на число и его свойства. 15. Скалярное произведение векторов и его свойства. Связь с проекцией вектора на вектор. Перпендикулярность векторов. 16. Направляющие косинусы векторов. Угол между векторами. Условие параллельности и перпендикулярности. Расстояние между данными точками. 17. Векторное произведение. Представление в виде определителя. Свойства антикоммутативности, ассоциативности, дистрибутивности. 18. Смешанное произведение векторов. Определение, представление в виде определителя. Геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов. 19. Прямая на плоскости декартовых координат. Формы уравнения прямой. Угол между прямыми, перпендикулярность. Параллельность. Расстояние от точки до прямой. 20. Плоскость в декартовых координатах. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. 21. Уравнения плоскости в отрезках осей координат. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. 22. Прямая в декартовых координатах в пространстве. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой по двум точкам. Параметрические уравнения, общее уравнение прямой. 23. Угол между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условие перпендикулярности и параллельности. 24. Общее уравнение линий второго порядка. Окружность. 25. Каноническое уравнение эллипса. 26. Каноническое уравнение гиперболы. 27. Каноническое уравнение параболы.

Матрицы и линейные действия над ними.

Определение матрицы

Матрица - это математический объект, записанный в виде прямоугольной таблицы

Размерность матрицы

Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m на n

Прямоугольная матрица

Любая матрица является прямоугольной

Квадратная матрица

Матрица, имеющая m строк и n столбцов, называется квадратной, если число строк равно числу столбцов. То есть m=n. Вышеприведенный рисунок, является примером квадратной матрицы

Матрица строка

Если матрица имеет только одну строку, то она называется матрицей-строкой

Матрица столбец

Если матрица имеет только один столбец, то она называется матрицей-столбцом

Диагональная матрица

Квадратная матрица называется диагональной, если элементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю. Пример диагональной матрицы:

Единичная матрица

Единичной называется диагональная матрица, у которой все ненулевые элементы равны единице. Такая матрица обычно обозначается буквой E

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы - это операция замены строк матрицы на столбцы

Сложение матриц

В результате сложения матриц получается другая матрица, каждый элемент которой представляет из себя сумму соответствующих элементов двух матриц

Разность матриц

Разность матриц - то же, что и сложение, только вторая матрица умножается на -1

Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число в результате дает матрицу, все элементы которой являются произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число